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By Norbert Klingen

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30 Wir w¨ ahlen X zun¨ achst so, dass jeweils die Existenz eines a ∈ ZK mit ja ∈ Xy −1 gesichert ist. 14). Wir w¨ ahlen daher f¨ ur alle Einbettungen τ von K positive reelle Zahlen cτ > 0 mit cτ¯ = cτ und C := τ 2 cτ > ( )s π |dK | . Wir setzen Xc := {(zτ ) ∈ KIR | |zτ | < cτ } . Dann gilt f¨ ur y ∈ F1 (d. h. τ |yτ | = 1) Xc · y −1 = {(zτ yτ−1 )τ ∈ KIR | |zτ | < cτ } = {(zτ )τ ∈ KIR | |zτ | < cτ |yτ−1 | =: cτ } = Xc mit cτ = cτ |yτ−1 | und daher C := cτ = τ τ cτ · τ 2 |yτ−1 | = C > ( )s π |dK | .

Umgekehrt sagt man P liegt u ¨ber p. Folgende Aussagen sind sind f¨ ur Primideale (0) = P S und (0) = p R gleichwertig: p liegt unter P ⇐⇒ P liegt u ¨ber p ⇐⇒ p = P ∩ R ⇐⇒ p ⊂ P ⇐⇒ P | pS und man schreibt daf¨ ur auch einfach P | p (im Sinne unserer Identifizierung Ik ⊂ IK (vgl. 2)). Wir wechseln nun die Blickrichtung, fixieren ein maximales Ideal p von R und studieren die dar¨ uber liegenden Primideale von S. 3) Satz: Sei R ein Dedekindring mit Quotientenk¨ orper k, K|k eine endlich separable K¨ orpererweiterung und S der ganze Abschluss von R in K.

Bn , m ≤ n und nat¨ urlin che Zahlen d1 | d2 | . . | dm , so dass R = ⊕m d Z Zb ⊂ ⊕ Z Zb ist. Damit ist i i i=1 i i=1 n A ⊕m Z Z/d Z Z ⊕ ⊕ Z Z. Der erste Summand ist genau die Torsionsgruppe (mit i i=1 i=m+1 der Ordnung i di ) und der zweite eine freie Gruppe vom Rang n − m. 32 mit einem Grundeinheitensystem εi (i = 1, . , t = r + s − 1). 24) auch noch eine wichtige Invariante eines algebraischen Zahlk¨ orpers, den Regulator. F¨ ur die Definition erinnern wir uns: λUK ist ein Gitter auf der Hyperebene H in IRr+s mit der Gleichung i xi = 0.

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