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By Lisa Jacobsen

ISBN-10: 0387518304

ISBN-13: 9780387518305

ISBN-10: 3540518304

ISBN-13: 9783540518303

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Example text

Wegen g G ist g G a¨ quivalent zu n ord g ord G. ¾ 6. Endlich erzeugte abelsche Gruppen 35 Wenden wir uns nun den endlich erzeugten abelschen Gruppen zu. Sei G eine solche. Um mit G arbeiten zu k¨onnen, benutzen wir eine Darstellung von G (als –Modul). Seien dazu g1 gk Erzeuger von G, wir schreiben sie als k–Tupel S ´g1 gk µ und betrachten den surjektiven Homomorphismus ϕS : k mk µ ´m1 G k ∑ mi g i i 1 Elemente des Kerns von ϕS werden Relationen der Erzeuger S genannt. 8 zeigen, dass auch der Kern von ϕS endlich erzeugt ist.

H. 52 1 · a2k mit k r und ungeradem 2r 3 in H liegen, sind sie 1 modulo 4, sprich k a ¾ Æ . Da mit 5 ¾ H auch die Potenzen 5 Durch Quadrieren erhalten wir unter Ber¨ucksichtigung von 2k k · 1 die Behauptung 52 r 2 ´52 µ2 ´1 · a2kµ2 r 3 1 · a2k·1 · a222k 1 2. mod 2r·1 Nun da wir wissen, dass Ψ ein wohldefinierter Homomorphismus ist, wollen wir zeigen, dass Ψ injektiv ist. Sei Ψ´i j µ ´ 1µi 5 j 1 mod 2r . Insbesondere ist dann 1 ´ 1µi 5 j ´ 1µi mod 4 und damit i 0 mod 2 ¸ i 0. Aus Ψ´0 jµ ´ 1µ05 j 5 j 1 mod 2r folgt wegen ord 5 2r 2 , dass j 0 mod 2r 2 ¸ j 0.

Per Definition ist der Gruppenhomomorphismus Φ : G m mg surjektiv. Sein Kern, Ker Φ, ist eine Untergruppe von , tats¨achlich aber sogar ein – Untermodul von wegen der –Modulstruktur von abelschen Gruppen. Da Ker Φ , muss er sogar ein Ideal sein. 9 ist ein Hauptidealring, also existiert ein n ¾ Æ mit Ker Φ n . h. G . F¨ur n 1 ist schließlich nach dem Homomorphiesatz G n . 7 Sei G eine endliche zyklische Gruppe. Ein Element g ¾ G erzeugt G genau dann, wenn ord g ord G. Beweis: Per Definition ist n : ord g die kleinste nat¨urliche Zahl mit ng knµg mg f¨ur alle k ¾ Æ .

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by Ronald
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